Question

16．已知：函数f（x）=2$\sqrt{3}{sin^2}$x+sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求$g（\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，进而利用周期公式即可计算得解．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律可求$g（x）=2sinx+\sqrt{3}$，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．

解答 （本题满分为13分）
解：$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x+sin2x$=$\sqrt{3}（1-cos2x）+sin2x$
=$sin2x-\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，…（3分）
（Ⅰ）$T=\frac{2π}{2}=π$；                                                  …（5分）
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$（k∈Z）；                    …（8分）
（Ⅲ）函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数$y=2sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$的图象，
再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数$y=2sinx+\sqrt{3}$的图象，即$g（x）=2sinx+\sqrt{3}$，
则$g（\frac{π}{6}）=2sin\frac{π}{6}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$．                  …（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，特殊角的三角函数值以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于中档题．