Question

15．△AOB为等边三角形，OA=1，OC为AB的高，点P在射线OC上，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{8}$
• D． -$\frac{3}{16}$

Answer 1

分析 如图所示，设P（0，t），$（t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）$，A$（-\frac{1}{2}，0）$，O$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
设P（0，t），$（t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）$，A$（-\frac{1}{2}，0）$，O$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{AP}$=$（\frac{1}{2}，t）$，$\overrightarrow{OP}$=（0，t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$=t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$（t-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}$-$\frac{3}{16}$≥$-\frac{3}{16}$．
当t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$时取等号，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的最小值为-$\frac{3}{16}$．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的性质、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．