Question

已知双曲线，
（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．
（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
（3）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为，a＞b＞0，则a²=6+2=8，c²=6，由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，设P（x，y），则，，由此能推导出直线CP和DP的斜率之积为定值-．
（3）直线CD的斜率为，CD平行于直线l，设直线l的方程为y=，由，得x²+2tx+2t²-4=0，△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，由此能求出△CMN面积的最大值和此时直线l的方程．
解答：解：（1）∵双曲线的顶点为（±，0），焦点为（，0），
设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为，a＞b＞0，
则a²=6+2=8，c²=6，
∴椭圆E的方程为．…（3分）
（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），
且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，设P（x，y），
则，，
∴=，…（5分）
∵点Q在椭圆E上，∴x²=8-4y²，k_CP•k_DP==-．
∴直线CP和DP的斜率之积为定值-．…（7分）
（3）∵直线CD的斜率为，CD平行于直线l，
设直线l的方程为y=，
由，消去y，整理得x²+2tx+2t²-4=0，
△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2tx₁•x₂=2t²-4．…（10分）
∴|MN|=
=
=
=，-2＜t＜2．…（11分）
点C到直线MN的距离为d==，…（12分）
∴
=
=|t|•
=≤==2．
当且仅当t²=4-t²，即t²=2时，取等号．…（13分）
∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积最大值的求法及此时直线方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活应用．