Question

14．已知函数f（x）=2x²+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）=f（x）-4x+2存在两个极值点，且x₀是函数g（x）的极小值点，求证：$g（{x_0}）＞\frac{1}{2}-ln2$．

Answer 1

分析 （1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．
（2）利用条件x₀是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明：$g（{x_0}）＞\frac{1}{2}-ln2$．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
（1）$f'（x）=4x+\frac{a}{x}=\frac{{4{x^2}+a}}{x}$，
当a≥0，f'（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f'（x）=0，得$x=\frac{{\sqrt{-a}}}{2}$或$x=-\frac{{\sqrt{-a}}}{2}$（不合题意，舍去），
则当$x∈（{0，\frac{{\sqrt{-a}}}{2}}）$时，f'（x）＜0，函数f（x）在$（{0，\frac{{\sqrt{-a}}}{2}}）$上单调递减，
当$x∈（{\frac{{\sqrt{-a}}}{2}，+∞}）$时，f'（x）＞0，函数f（x）在$（{\frac{{\sqrt{-a}}}{2}，+∞}）$上单调递增．
（2）∵g（x）=2x²-4x+2+alnx，
∴$g'（x）=4x-4+\frac{a}{x}=\frac{{4{x^2}-4x+a}}{x}$，
∵函数g（x）存在两个极值点，设两个极值点为x₁，x₀，
∴x₁，x₀是方程4x²-4x+a=0的两根，
∴△=16-16a＞0，0＜a＜1，且x₁+x₀=1，
∵函数y=4x²-4x+a开口向上，与x轴交于两点，x₀是函数g（x）的极小值点，
∴x₁＜x₀，从而$\frac{1}{2}＜{x_0}＜1$，
由$4x_0^2-4{x_0}+a=0$，得$a=-4x_0^2+4$，x₀∈（0，1），
$g（{x_0}）=2{（{{x_0}-1}）^2}+（{4{x_0}-4x_0^2}）ln{x_0}$，
设$h（t）=2{（{t-1}）^2}+（{4t-4{t^2}}）lnt（{\frac{1}{2}＜t＜1}）$，
∵h'（t）=4（1-2t）lnt＞0，
∴h（t）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上递增，
∴$h（t）＞h（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-ln2$，
∴$g（{x_0}）＞\frac{1}{2}-ln2$．

点评 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论，属于中档题．