Question

设数列的前项和为．已知，=an+1－n2－n－()

(1) 求的值；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 证明:对一切正整数，有++…+<．

 

Answer 1

(1) 4

(2) n2

(3)见解析

【解析】(1) 依题意，2S1=a2－－1－，又，所以；

(2) 当时， 2Sn=nan+1－n3－n2－n，

∴2Sn－1=(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，

两式相减得2an=nan+1－(n－1)an－(3n2－3n+1)－(2n－1)－

整理得，即－=1，

又－=1， 故数列{}是首项为=1，公差为的等差数列，

所以=1+(n－1)×1=n，所以．

(3) 当时， =1<；

当时， +=1+=<；

当时， =<=－，此时

++…+=1+++…+<1++(－)+(－)+…+(－)

=1++－=－<

综上，对一切正整数，有++…+<．