Question

已知函数f（x）=（x+a）2+lnx．

（1）当a=时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；

（2）若函数f（x）在[2，+∞）上递增，求实数a的取值范围；

（3）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈（0，），证明：f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）略

【解析】

试题分析：（1）定义域为，当时，函数，则

，所以在上递增，；

（2），因为在上递增，所以在上恒成立即在上恒成立，即，而，在上递减，当时，，所以；（3）的定义域为，，因为函数有两个极值点、，所以、是方程的两根，因此，，且，，

所以

令，，在上单调递减，，所以f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2.

试题解析：（1）当时，函数，则

∴在上递增，

（2），

∵在上递增，∴在上恒成立，

∴在上恒成立，

即，而，在上递减，

当时，，

∴

（3）的定义域为，

∵函数有两个极值点、，∴、是方程的两根，

∴，，且，，

∴

令)

∴在上单调递减，

∴

∴f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2.

考点：1.函数的单调性与最值；2.导数与单调性；3.不等式恒成立问题；