Question

已知数列{a_n}为等差数列，且满足a₂=3，a₄+a₅+a₆=18，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差和首项，由此能求出数列{a_n}的通项公式；再由数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，构造等比数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由已知条件推导出c_n=a_n•b_n=（n+1）•2ⁿ-n-1，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，且满足a₂=3，a₄+a₅+a₆=18，设公差为d，
∴

a1+d=3 a1+3d+a1+4d+a1+5d=18

，
解得a₁=2，d=1，
∴a_n=n+1．
∵数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），b₁+1=2，
∴{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn+1=2n，
∴b_n=2ⁿ-1．
（2）∵a_n=n+1，b_n=2ⁿ-1，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•（2ⁿ-1）=（n+1）•2ⁿ-n-1，
∴Tn=2•2+3•22+…+(n+1)•2n-（1+2+…n）-n
=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ+

n(n+3)

2

，①
2T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹+（n²+3n），②
②-①，得：T_n=-4-2²-2³-…-2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

=（n+1）•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

-4-

4(1-2n-1)

1-2

=n•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

．
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹+

n(n+3)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，是中档题，解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用．