Question

4．已知直线l₁：y=2x，直线l₂过定点A（3，2）且与x轴上交于点P（a，0）（a＞2），则直线l₁，l₂与x轴正半轴围成的三角形面积的最小值=8．

Answer 1

分析 由题意画出图形，当a≠3时，求出直线PA的方程，联立直线PA的方程与y=2x求得B的纵坐标，代入三角形面积公式，转化为二次函数求得最值，当a=3时，直接求得三角形面积，比较后得答案．

解答 解：如图，

∵A（3，2）且与x轴上交于点P（a，0）（a＞2），
∴当a≠3时，直线PA的方程为：$\frac{y-0}{2-0}=\frac{x-a}{3-a}$，即2x+（a-3）y-2a=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{2x+（a-3）y-2a=0}\end{array}\right.$，解得${y}_{B}=\frac{2a}{a-2}$．
∴${S}_{△OPB}=\frac{1}{2}×a×\frac{2a}{a-2}=\frac{{a}^{2}}{a-2}$=$\frac{1}{-\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{a}}$．
∴当$\frac{1}{a}=\frac{1}{4}$，即a=4时，（S_△OPB）_min=8；
当a=3时，PA所在直线方程为x=3，则y_B=6，此时${S}_{△OPB}=\frac{1}{2}×3×6=9$．
综上，直线l₁，l₂与x轴正半轴围成的三角形面积的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查直线的截距式方程，训练了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．