题目内容
16．已知双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$，一个焦点为$（0，-2\sqrt{2}）$，则双曲线的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．分析 根据题意，根据双曲线焦点的坐标可以设其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且有a2+b2=c2=8，①，利用标准方程表示出其渐近线方程为：y=±$\frac{a}{b}$x，结合题意可得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，②
联立两式，解可得a2、b2的值，将其代入双曲线的标准方程即可得答案．
解答 解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为$（0，-2\sqrt{2}）$，在y轴上，
可以设其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且有a2+b2=c2=8，①
其渐近线方程为：y=±$\frac{a}{b}$x，
又由该双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$，则有$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，②
联立①、②可得：a2=6，b2=2，
则要求双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
点评 本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，需要由焦点的位置先设出双曲线的方程．
练习册系列答案
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4．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的 S=（ ）
| A． | $\frac{4}{9}$ | B． | $\frac{8}{9}$ | C． | $\frac{3}{7}$ | D． | $\frac{6}{7}$ |
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．