Question

 已知函数,其中.

(1)  当时,求函数在处的切线方程;

(2)  若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;

(3)  已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

Answer 1

解:(1)当时,,则,故……………2分

又切点为,故所求切线方程为,即……………………………4分

(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,

由,得,因为,所以……………7分

令,则,故在区间(1,2)上是增函数,

所以其值域为,从而的取值范围是…………………………………9分

   (3),

   由题意知对恒成立,即对恒成立,即  ①对恒成立 ……………………………11分

   当时,①式显然成立;

   当时,①式可化为    ②,

   令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ……13分

   即,其等价于   ③ ,

   因为③在时有解,所以,解得,

从而的最大值为………………………………………………………………………16分