Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

7

4

，长轴端点与短轴端点的距离为5．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆C上，求点P到直线3x-4y=24的最小距离．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率公式和长轴端点与短轴端点的距离，及a，b，c的关系，列出方程组，解除即可；
（2）设P（4cosα，3sinα），运用点到直线的距离公式，结合两角差的正弦公式，和正弦函数的值域，即可得到最小值．

解答： 解：（1）长轴端点与短轴端点的距离为5，
则a²+b²=25，
又离心率为

7

4

，即

c

a

=

7

4

，
又a²-b²=c²．
解得，a=4，b=3，c=

7

，
则椭圆方程为：

x2

16

+

y2

9

=1；
（2）设P（4cosα，3sinα），
则点P到直线3x-4y=24的距离为d=

|12cosα-12sinα-24|

9+16

=

|24+12 2 sin(α- π 4 )|

5

，
则当sin（α-

π

4

）=-1时，取得最小值

24-12 2

5

．
即有点P到直线3x-4y=24的最小距离为

24-12 2

5

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆的参数方程的运用，考查点到直线的距离的运用，考查正弦函数的值域，属于中档题．