题目内容
某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．
（1）设第n年该生产线设备低劣化值为an，求an的表达式；
（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为An，当An达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．
（1）设第n年该生产线设备低劣化值为an，求an的表达式；
（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为An，当An达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：（I）当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列；当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为
的等比数列，故可求n年该生产线设备低劣化值为an的表达式；
（2）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得Sn，该生产线前n年设备低劣化平均值为An为增数列，从而可求第9年初需要更新该生产线．
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（2）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得Sn，该生产线前n年设备低劣化平均值为An为增数列，从而可求第9年初需要更新该生产线．
解答：
解：（1）当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，an=4+2（n-1）=2n+2；
当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为
的等比数列，又a7=16，∴an=16×（
）n-7
∴an的表达式为an=
；
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤7时，Sn=4n+n（n-1）=n2+3n…（8分）
当n≥8时，由S7=70，Sn=S7+16×
×
=80×（
）n-7-10．
An=
，当1≤n≤7时，{An}为增数列，
当n≥8时，∵An+1-An=
＞0，{An}也为增数列，
又∵A7=10＜12，A8=11.25＜12，A9≈12.78＞12，
则第9年初需要更新该生产线．
当n≥8时，数列{an}是首项为a7，公比为
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∴an的表达式为an=
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（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤7时，Sn=4n+n（n-1）=n2+3n…（8分）
当n≥8时，由S7=70，Sn=S7+16×
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1-
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An=
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当n≥8时，∵An+1-An=
80•(
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又∵A7=10＜12，A8=11.25＜12，A9≈12.78＞12，
则第9年初需要更新该生产线．
点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的通项及求和公式的运用，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型．
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