Question

18．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.5]=12，[-3.5]=-4，对任意的实数x，令f₁（x）=[4x]，g（x）=4x-[4x]，进一步令f₂（x）=f₁[g（x）]．
（1）若x=$\frac{7}{16}$，分别求f₁（x） 和f₂（x）；
（2）若f₁（x）=1，f₂（x）=3同时满足，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得f₁（x）=${f}_{1}（\frac{7}{16}）$=[4×$\frac{7}{16}$]=[$\frac{7}{4}$]，f₂（x）=${f}_{2}（\frac{7}{16}）={f}_{1}[g（\frac{7}{16}）]$=[4×$（4×\frac{7}{16}-[4×\frac{7}{16}]）$]，由此能求出结果．
（2）由已知得f₁（x）=1，g（x）=4x-1，f₂（x）=f₁（4x-1）=[16x-4]=3，由此能求出x的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵对任意的实数x，令f₁（x）=[4x]，g（x）=4x-[4x]，进一步令f₂（x）=f₁[g（x）]，
x=$\frac{7}{16}$，
∴f₁（x）=${f}_{1}（\frac{7}{16}）$=[4×$\frac{7}{16}$]=[$\frac{7}{4}$]=1，
f₂（x）=${f}_{2}（\frac{7}{16}）={f}_{1}[g（\frac{7}{16}）]$=[4×$（4×\frac{7}{16}-[4×\frac{7}{16}]）$]=[4×$\frac{3}{4}$]=3．
（2）∵f₁（x）=1，f₂（x）=3同时满足，
∴f₁（x）=1，g（x）=4x-1，
f₂（x）=f₁（4x-1）=[16x-4]=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤4x＜2}\\{3≤16x＜4}\end{array}\right.$，解得$\frac{7}{16}≤x＜\frac{1}{2}$．
∴x的取值范围是[$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．