Question

8．已知关于x的一元二次方程：9x²+6mx=n²-4（m，n∈R）．
（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N^*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；
（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．

Answer 1

分析 （1）m∈{x|0≤x≤3，x∈N^*}={1，2，3}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}={0，1，2}，基本事件总数为9，△＞0，m²+n²＞4，求出满足条件的（m，n）的个数，即可求出方程有两个不相等实根的概率；
（2）m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，对应区域的面积为6，△≥0，m²+n²≥4，对应区域的面积为6-$\frac{1}{4}π•4$=6-π，即可求出方程有实数根的概率．

解答 解：方程的△=36m²+36（n²-4）．
（1）m∈{x|0≤x≤3，x∈N^*}={1，2，3}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}={0，1，2}，基本事件总数为9
△＞0，m²+n²＞4，满足条件的（m，n）为（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），共6个，
∴方程有两个不相等实根的概率为$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$；
（2）m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，对应区域的面积为6，
△≥0，m²+n²≥4，对应区域的面积为6-$\frac{1}{4}π•4$=6-π，
∴方程有实数根的概率为$\frac{6-π}{6}$=1-$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查几何概型，考查方程根的研究，正确确定测度是关键．