Question

15．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是A₁B₁，BC，C₁D₁和B₁C₁的中点．
（1）求证：平面MNF⊥平面NEF；
（2）求二面角M-EF-N的平面角正切值．

Answer 1

分析 （1）不妨取正方体的棱长AB=2，由E，M，N分别是A₁B₁，C₁D₁和B₁C₁的中点．可得MN²+EN²=EM²，可得MN⊥EN．由正方体的性质可得：FN⊥EN，可得EN⊥平面CNM，平面MNF⊥平面NEF．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面EFM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．设平面EFN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FN}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$．

解答 （1）证明：不妨取正方体的棱长AB=2，∵E，M，N分别是A₁B₁，C₁D₁和B₁C₁的中点．
∴MN²+EN²=1²×2+1²×2=4=EM²，∴MN⊥EN．
由正方体的性质可得：FN⊥平面A₁B₁C₁D₁，EN?平面A₁B₁C₁D₁，∴FN⊥EN，
又MN∩FN=N，
∴EN⊥平面CNM，又EN?平面ENF，
∴平面MNF⊥平面NEF．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），M（0，1，2），E（2，1，2），N（1，2，2），F（1，2，0）．
$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{EM}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{FN}$=（0，0，2）．
设平面EFM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{-2{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，2，1）．
设平面EFN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FN}=0}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}+{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由图可知：二面角M-EF-N的平面角是锐角．
∴二面角M-EF-N的平面角正切值=$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系及其空间角、线面面面垂直的判定与性质定理、向量垂直与数量积的关系、法向量的应用、正方体的性质、勾股定理与逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．