题目内容
8．圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0（a＞0，b＞0）对称，则$\frac{1}{a}$$+\frac{3}{b}$的最小值是（ ）| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | $\frac{20}{3}$ | C． | 4 | D． | $\frac{16}{3}$ |
分析 求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．
解答 解：∵圆x2+y2+2x-6y+1=0?（x+1）2+（y-3）2=9，
圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0（a＞0，b＞0）对称，
∴该直线经过圆心（-1，3），
把圆心（-1，3）代入直线ax-by+3=0（a＞0，b＞0），得：-a-3b+3=0
∴a+3b=3，a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$）（a+3b）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3b}{a}$+$\frac{3a}{b}$）≥$\frac{16}{3}$，
当且仅当$\frac{3b}{a}$=$\frac{3a}{b}$时取得最小值，
故选：D．
点评 本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用．
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| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
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| A． | $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$ | B． | $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$ | ||
| C． | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$ | D． | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}$ |