Question

4．已知2sinα•tanα=3，且0＜α＜π．
（1）求α的值；
（2）求函数f（x）=4sinxsin（x-α）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值，可得α的值．
（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）=4sinxsin（x-α）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：（1）∵2sinα•tanα=3，且0＜α＜π．∴2sin²α=3cosα，∴2-2cos²α=3cosα，∴2cos²α+3cosα-2=0，
解得cosα=$\frac{1}{2}$，或cosα=-2（舍），∴α=$\frac{π}{3}$．
（2）∵α=$\frac{π}{3}$，∴函数f（x）=4sinxsin（x-$\frac{π}{3}$）=4sinx（sinxcos$\frac{π}{3}$-cosxsin$\frac{π}{3}$）=$2{sin^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$=$-2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，∴$2sin（2x+\frac{π}{6}）∈[1，2]$，
则$-2sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-2，-1]$，∴f（x）∈[-1，0]．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．