Question

已知二次函数满足如下条件：①图像过原点；②f(－x＋2002)=f(x－2000)；③方程f(x)=x的重根．

(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m、n]和[3m、3n]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)图像过原点，∴．又∵f(－x＋2002)=f(x－2000)， ∴f[1＋(2001－x)]－f[1－(2001－x)]，∴f(1＋x)=f(1－x)，即二次函数的对称轴为x=1．∴．① 又∵f(x)=x有重根，即方程有重根， ∴b－1=0，∴b=1，．② (2)，由于，故．故f(x)在[m、n]上是增函数．∴f(m)=3m，f(n)=3n．故m、n是方程f(x)=x的两根，，故m=－4，n=0．