Question

18．已知椭圆$\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，双曲线$\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，M是两曲线的一个公共点，若∠F₁MF₂=60°，则双曲线的离心率e为$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．

Answer 1

分析 设|MF₁|=m，|MF₂|=n，不妨设m＞n．可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂，（2c）²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-2mn-2mncos60°，化简基础即可得出．

解答 解：设|MF₁|=m，|MF₂|=n，不妨设m＞n．
则m+n=2a₁，m-n=2a₂，（2c）²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-2mn-2mncos60°，
可得：4c²=${a}_{1}^{2}$+12${a}_{2}^{2}$，
∴4=$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$+12×$\frac{1}{{e}^{2}}$，解得e=$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．