Question

9．设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1），等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为M_n．

Answer 1

分析 （I）由T₅=T₃+2b₅，化为b₄=b₅，可得a₁=1．由 S_n=na_n-2n（n-1），利用递推关系可得：n≥2，a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），化为a_n-a_n-1=4，利用等差数列的通项公式可得a_n．
（II）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{4n-3}）（{4n+1}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 解：（I）∵T₅=T₃+2b₅，∴T₃+b₄+b₅=T₃+2b₅，∴b₄=b₅，∴a₁=1．
∵S_n=na_n-2n（n-1），∴n≥2，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2），
∴n≥2，a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即n≥2时，有a_n-a_n-1=4，
∴{a_n}为等差数列，公差为4，首项为1，
∴a_n=4n-3．
（II）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{4n-3}）（{4n+1}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$，
∴${M_n}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$=$\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{4n+1}}）＜\frac{1}{4}$，
n≥1时，易知M_n为递增数列，∴${M_n}≥\frac{1}{5}$，即$\frac{1}{5}≤{M_n}＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．