Question

1．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD，当棱锥A′-PBCD的体积最大时，PA的长为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 令PA=x（0＜x＜2），求出体积表达式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最大值．

解答 解：令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x．BP=2-x，因为A′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，
所以${V}_{{A}^{′}-PBCD}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6}（2-x）（2+x）x=\frac{1}{6}（4x-{x}^{3}）$，
令f（x）=$\frac{1}{6}（4x-{x}^{3}）$，由f′（x）=$\frac{1}{6}（4-3{x}^{2}）\;=0$得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以，当x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f（x）取得最大值，
即：体积最大时，PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A

点评 本题主要考查四棱锥体积的计算，以及函数与导数的综合，根据条件求出体积的表达式，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．