Question

已知函数f（x）=

1

x

-2xⁿ，且f（2）=-

7

2

（1）求n；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）代入，解方程即可得到n=1；
（2）求出定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，即可判断其偶性；
（3）f（x）在（0，+∞）为减函数．运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答： 解：（1）f（2）=

1

2

-2×2ⁿ=-

7

2

，即2ⁿ=2，解得n=1；
（2）由（1）得函数y=f（x）=

1

x

-2x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（-x）=

1

-x

+2x=-（

1

x

-2x）=-f（x）
则f（x）为奇函数；
（3）f（x）在（0，+∞）为减函数．
证明如下：设m＞n＞0，
则f（m）-f（n）=

1

m

-2m-（

1

n

-2n）=（

1

m

-

1

n

）-2（m-n）=（n-m）（

1

mn

+2）
由于m＞n＞0，则n-m＜0，mn＞0，则f（m）-f（n）＜0，
即f（m）＜f（n）
则f（x）为减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．