题目内容

5．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：
①函数f（x） 在x=0，4处取到极大值；
②函数f（x）在区间[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a不可能有3个零点．
其中所有真命题的序号是（　　）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④

分析 由极值点的定义即可判断①；由导数的符号，即可判断单调区间，判断②；
由极大值可能为最大值，即可判断③；由转化思想可得f（x）=a的图象交点个数，讨论两个极大值中较小为a，另一个大于a，即可判断④．

解答 解：①观察导数的图象可得f′（x）在x=0，x=4处左正右负，取得极大值，故①正确；
②函数f（x）在（0，2）的导数为负的，则f（x）在区间[0，2]上是减函数，故②正确；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，可能是f（0）=2或f（4）=2，那么t的最大值为5，
故③错误；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a，由f（x）=a的图象交点个数可得零点个数，
当f（x）的一个极大值为a，另一个极大值大于a时，可得它们有三个交点，即三个零点．
故④错误．
综上可得，①②正确．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数的运用：求极值和最值，以及单调区间，注意通过图象观察，以及转化和判断能力，考查数形结合思想方法，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
15．下列说法正确的是（　　）
A．异面直线所成的角范围是[0，π]
B．命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x∈R，2x＞0”
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．x2＞1成立的一个充分而不必要的条件是x＞2
16．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{m}$夹角为$\frac{3}{4}$π，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，则|$\overrightarrow{n}$|=1．
13．设函数g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1-λ）a]-λg（x），其中a，λ为常数，且0＜λ＜1
（I）求函数f（x）的极值；
（II）证明：对?a∈R+，?x∈R+，使得不等式|$\frac{g（x）-1}{x}-1$|＜a成立；
（III）设λ1，λ2∈R+，且λ1+λ2=1，证明：对?a1，a2∈R+，都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．
20．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，求函数的极值；
（II）设函数g（x）=x+$\frac{1}{x}$．当a=-1时，若区间[1，e]上存在x0，使得g（x0）＜m[f（x0）+1]，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）
10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4$\sqrt{3}$，A（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{13}}{2}$）是椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．
17．函数的$f（x）={2^{{x^2}+x-3}}$单调增区间是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．
14．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），则要得到函数y=f′（x）的图象，只需把函数f（x）的图象（　　）
A．沿x轴向左平移$\frac{π}{2}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
B．沿x轴向右平移$\frac{π}{2}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
C．沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
D．沿x轴向右平移$\frac{π}{4}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
15．已知$p：-2≤1-\frac{x-1}{3}≤2，q：（{x+m-1}）（{x-m-1}）≤0（{m＞0}）$，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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