Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a>b>0）为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.         （1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足=-2，求点M的轨迹方程.

Answer 1

【解析】（1）设F1（-c，0），F2（c，0）（c>0）.

由题意，可得PF2=F1F2，

即=2c，

整理得2得

=-1（舍），或.所以.

（2）由（1）知a=2c，b=c，

可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2.

直线PF2的方程为y=（x-c）.

A、B两点的坐标满足方程组，

消去y并整理，得5x2-8cx=0，

解得x1=0，x2=c，得方程组的解

不妨设

设点M的坐标为（x，y），则

由y= (x-c），得c=x-y.

于是，

.

由=-2，

即

化简得18x2-16xy-15=0.

将代入c=x-y，得，

所以x>0.

因此，点M的轨迹方程是

18x2-16xy-15=0（x>0）.