题目内容

19.在抛物线y2=16x上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,垂足为D,当P在抛物线上运动时,线段PD的中点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)设O为原点,过点(1,0)的直线l与曲线C交于A、B两点,求△AOB的面积的最小值.

分析 (1)设出M点的坐标,由M为线段PD的中点得到P的坐标,把P的坐标代入y2=16x整理得线段PD的中点M的轨迹.
(2)设直线l的方程为x=my+1,代入抛物线方程,利用韦达定理,即可得出结论.

解答 解:(1))设M(x,y),由题意D(x,0),P(x,y1
∵M为线段PD的中点,∴y1+0=2y,y1=2y.
又∵P(x,y1)在y2=16x上,∴y12=16x,
∴4y2=16x,即y2=4x.
(2)设直线l的方程为x=my+1,代入抛物线方程,可得:y2-4my-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$|OF||y1-y2|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16{m}^{2}+16}$≥2,m=0时取等号,
∴m=0时,△AOB的面积最小值为2.

点评 本题考查了轨迹方程的求法,训练了利用代入法求曲线的方程,考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查学生分析解决问题的能力,是中档题.

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