Question

18．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（　　）

• A． 7-4$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 4-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：设焦点在x轴上，椭圆和双曲线方程，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$，且c=c₁，a²-b²=${a}_{1}^{2}+{b}_{1}^{2}$=c²，$\frac{c}{a}•\frac{c}{a_1}=1（*）$，根据余弦定理，求得$b_1^2=（7-4\sqrt{3}）{b^2}$，由离心率公式即可求得e的值．

解答 解：由题意设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（a＞b＞0）
双曲线方程为$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$，且c=c₁．
由题意$\frac{c}{a}•\frac{c}{a_1}=1（*）$，
由∠F₁PF₂=30°，由余弦定理得：椭圆中$4{c^2}=4{a^2}-（2+\sqrt{3}）|{P{F_1}}||{P{F_2}}|$，
双曲线中：$4{c^2}=4a_1^2+（2-\sqrt{3}）|{P{F_1}}||{P{F_2}}|$，
可得$b_1^2=（7-4\sqrt{3}）{b^2}$，代入（*），
${c^4}=a_1^2{a^2}=（{c^2}-b_1^2）{a^2}=（8-4\sqrt{3}）{c^2}{a^2}-（7-4\sqrt{3}）{a^4}$，
即${e^4}-（8-4\sqrt{3}）{e^2}+（7-4\sqrt{3}）=0$，
得${e^2}=7-4\sqrt{3}$，即$e=2-\sqrt{3}$，
故答案选：B．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，注意运用定义法和离心率公式是解题的关键，属于中档题．