Question

1．将一个周长为18的矩形ABCD，以一边长为侧棱，折成一个正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），当这个正三棱柱的体积最大时，它的外接球的体积为$\frac{43}{54}\sqrt{129}$π．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，表示正三棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的体积．

解答 解：设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，
正三棱柱的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}y$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}（3-x）$=3$\sqrt{3}$$•\frac{1}{2}x•\frac{1}{2}x•（3-x）$≤3$\sqrt{3}$•（$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+3-x}{3}$）³=3$\sqrt{3}$，
当且仅当x=2时，等号成立，此时y=3，
可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{43}{12}}$，
∴它的外接球的体积为$\frac{4}{3}π$•（$\sqrt{\frac{43}{12}}$）³=$\frac{43}{54}\sqrt{129}$π．
故答案为：$\frac{43}{54}\sqrt{129}$π．

点评 本题考查外接球的体积，考查基本不等式的运用，确定正三棱柱的外接球的半径是关键．