Question

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是$\widehat{AC}$的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：CD²-DE²=AE•EC；
（2）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

Answer 1

分析 （1）证明△BCD∽△CDE，得出CD²=DE•DB，再利用DE•DB=DE•（DE+BE）即可证明结论成立；
（2）连接OC、OD，利用等边△OCD，即可求出∠ACD的大小．

解答 解：（1）证明：∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，
又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CDE，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{DC}{DB}$，
∴CD²=DE•DB；
又DE•DB═DE•（DE+BE）=DE²+DE•BE，且DE•BE=AE•EC，
∴CD²-DE²=AE•EC；
（2）如图所示，

连接OC、OD，
由题意知△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，
∴∠ACD=∠CBD=30°．

点评 本题考查了与圆有关的线段成比例的应用问题，也考查了等边三角形的性质与应用问题，是综合性题目．