Question

已知n∈N^*，且n≥2，求证：

1

n

＞

n

-

n-1

．

Answer 1

分析：由条件可得，要证不等式成立，只要证1＞n-

n(n-1)

，即证

n(n-1)

＞n-1．故只要证 n（n-1）＞n²-2n+1，即证 n＞1，而由题意可得 n＞1显然成立，
从而原不等式成立．

解答：证明：∵n∈N^*，且n≥2，故要证：

1

n

＞

n

-

n-1

，只要证 1＞n-

n(n-1)

，
即证

n(n-1)

＞n-1．
故只要证 n（n-1）＞n²-2n+1，即证 n＞1．
而由题意可得 n＞1显然成立，故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．