Question

1．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n=2k-1}\\{3{a}_{n}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求满足2a_n+1=a_n+a_n+2的正整数n的值；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，问是否存在正整数m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得数列{a_n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）①当n为奇数时，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：$2×2×{3}^{\frac{n+1}{2}-1}$=n+n+2，化为：$2×{3}^{\frac{n-1}{2}}$=n+1，令f（x）=2×${3}^{\frac{x-1}{2}}$-x-1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n为偶数时，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：2（n+1）=2$2×{3}^{\frac{n}{2}-1}$+2×${3}^{\frac{n+2}{2}-1}$，化为：n+1=${3}^{\frac{n}{2}-1}$+${3}^{\frac{n}{2}}$，即可判断出不成立．
（3）S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，n∈N^*．S_2n-1=S_2n-a_2n=3^n-1+n²-1．假设存在正整数m，n，使得S_2n=mS_2n-1，化为3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n=2k-1}\\{3{a}_{n}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．可得数列{a_n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．
∴对任意正整数k，a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1；a_2k=2×3^k-1．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．
（2）①当n为奇数时，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：$2×2×{3}^{\frac{n+1}{2}-1}$=n+n+2，化为：$2×{3}^{\frac{n-1}{2}}$=n+1，
令f（x）=2×${3}^{\frac{x-1}{2}}$-x-1（x≥1），
由f′（x）=$\frac{2}{\sqrt{3}}$×$（\sqrt{3}）^{x}$×ln$\sqrt{3}$-1≥$\frac{2}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}ln\sqrt{3}$-1=ln3-1＞0，
可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（1）=0，
∴当且仅当n=1时，满足$2×{3}^{\frac{n-1}{2}}$=n+1，即2a₂=a₁+a₃．
②当n为偶数时，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：2（n+1）=2$2×{3}^{\frac{n}{2}-1}$+2×${3}^{\frac{n+2}{2}-1}$，
化为：n+1=${3}^{\frac{n}{2}-1}$+${3}^{\frac{n}{2}}$，
上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．
综上，满足2a_n+1=a_n+a_n+2的正整数n的值只有1．
（3）S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ+n²-1，n∈N^*．
S_2n-1=S_2n-a_2n=3^n-1+n²-1．
假设存在正整数m，n，使得S_2n=mS_2n-1，
则3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1），
∴3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），（*）
从而3-m≥0，∴m≤3，
又m∈N^*，∴m=1，2，3．
①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．
②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n²-1）=0，解得n=1，∴S₂=3S₁．
③当m=2时，（*）式可化为3^n-1=（n+1）（n-1），
则存在k₁，k₂∈N^*，k₁＜k₂，使得n-1=${3}^{{k}_{1}}$，n+1=${3}^{{k}_{2}}$，且k₁+k₂=n-1，
从而${3}^{{k}_{2}}-{3}^{{k}_{1}}$=${3}^{{k}_{1}}$$（{3}^{{k}_{2}-{k}_{1}}-1）$=2，∴${3}^{{k}_{2}}$-${3}^{{k}_{1}}$=2，${3}^{{k}_{1}}$=1，
∴k₁=0，k₂-k₁=1，于是n=2，S₄=2S₃．
综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于难题．