Question

已知函数，令．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）任取定义域内的5个自变量，根据要求计算并填表；观察表中数据间的关系，猜想一个等式并给予证明；

x						…
						…
						…

（3）如图，已知f（x）在区间[0，+∞）的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数g（x）的图象．请说明你的作图依据．

Answer 1

解：（1）由条件，f（x）的定义域为一切实数，故x²≥0
所以，f（x）∈（0，1]．
（2）表格内数据只要满足和互为相反数即可得分．
猜想：或f（x）+g（x）=1
证明：
（3）f（x）和g（x）的图象见下图．
因为x∈R，且f（-x）=f（x），g（-x）=g（x），所以函数f（x）和g（x）都是偶函数，其本身图象关于y轴对称．
（注：只作对f（x）图象，并说明了理由的可得2分）
∵所以函数的图象和的图象关于x轴对称，即f（x）图象和g（x）图象关于直线对称．
由此，可作出f（x）和g（x）在定义域内的全部图象．
分析：（1）先由条件，f（x）的定义域为一切实数，故x²≥0，从而得出函数的值域；
（2）由表格内数据猜想：或f（x）+g（x）=1，从而得出函数f（x）和g（x）都是偶函数，其本身图象关于y轴对称．
（3）由于，所以函数的图象和的图象关于x轴对称，即f（x）图象和g（x）图象关于直线对称．由此，可作出f（x）和g（x）在定义域内的全部图象．
点评：此题考查了函数解析式的求解及常用方法，还考查了函数的值域，此题解答的关键是数形结合思想的运用．