题目内容
3．设数列{an}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…ai中的最大项为Ai，该数列后m-i项ai+1，ai+2，…，am中的最小项为Bi，ri=Ai-Bi（i=1，2，3，…，m-1）．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n，求数列{ri}的通项公式；
（2）若数列{an}满足a1=1，ri=-2，求数列{an}的通项公式；
（3）试构造一个数列{an}，满足an=bn+cn，其中{bn}是公差不为零的等差数列，{cn}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{ri}都是单调递增的，并说明理由．
分析 （1）由an=2n单调递增，可得Ai=2i，Bi=2i+1，即可得到ri=Ai-Bi；
（2）由题意可得Ai＜Bi，即ai＜ai+1，又因为i=1，2，3，…，m-1，所以{an}单调递增，可得{an}是公差为2的等差数列，进而得到所求通项公式；
（3）构造an=n-（$\frac{1}{2}$）n，其中bn=n，cn=-（$\frac{1}{2}$）n，运用新定义即可得证．
解答 解：（1）因为an=2n单调递增，
所以Ai=2i，Bi=2i+1，
所以ri=Ai-Bi=-2i，1≤i≤m-1；
（2）根据题意可知，ai≤Ai，Bi≤ai+1，
因为ri=Ai-Bi=-2＜0，所以Ai＜Bi，
可得ai≤Ai＜Bi≤ai+1，即ai＜ai+1，
又因为i=1，2，3，…，m-1，所以{an}单调递增，
则Ai=ai，Bi=ai+1，所以ri=ai-ai+1=-2，即ai+1-ai=2，1≤i≤m-1，
所以{an}是公差为2的等差数列，an=1+2（n-1）=2n-1，1≤i≤m-1；
（3）构造an=n-（$\frac{1}{2}$）n，其中bn=n，cn=-（$\frac{1}{2}$）n，
下证数列{an}满足题意．
证明：因为an=n-（$\frac{1}{2}$）n，所以数列{an}单调递增，
所以Ai=ai=i-（$\frac{1}{2}$）i，Bi=ai+1=i+1-（$\frac{1}{2}$）i+1，
所以ri=ai-ai+1=-1-（$\frac{1}{2}$）i+1，1≤i≤m-1，
因为ri+1-ri=[-1-（$\frac{1}{2}$）i+2]-[-1-（$\frac{1}{2}$）i+1]=（$\frac{1}{2}$）i+2＞0，
所以数列{ri}单调递增，满足题意．
（说明：等差数列{bn}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{cn}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{an}都满足题意．）
点评 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
名题金卷系列答案| A． | $\frac{7}{2}$ | B． | $\frac{7}{4}$ | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |