Question

11．已知不等式e^x≥1+ax对一切x∈R恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 由题意可得e^x-1-ax≥0恒成立，即为0≤e^x-1-ax的最小值．设f（x）=e^x-1-ax，求得导数，对a讨论，求得单调区间和极值、最值，可得a-1-alna≥0，设g（a）=a-1-alna（a＞0），求出导数，可得单调区间和最大值，进而得到所求a的值．

解答 解：不等式e^x≥1+ax对一切x∈R恒成立，即为
e^x-1-ax≥0恒成立，即为0≤e^x-1-ax的最小值．
设f（x）=e^x-1-ax，f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，e^x＞0，可得f′（x）＞0，f（x）在R上递增，无最小值；
当a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，
即有x=lna处，f（x）取得极小值，且为最小值a-1-alna，
则a-1-alna≥0，
设g（a）=a-1-alna（a＞0），g′（a）=1-（1+lna）=-lna，
当a＞1时，g′（a）＜0，g（a）在（1，+∞）递减；
当0＜a＜1时，g′（a）＞0，g（a）在（0，1）递增．
即有a=1处g（a）取得极大值，且为最大值0．
即a-1-alna≤0，
故a-1-alna=0，解得a=1．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，求导数和单调区间，求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．