Question

已知f(x)=x²-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

解:法一　f(x)=(x-a)²+2-a²,

此二次函数图象的对称轴为x=a,

①当a∈(-∞,-1)时,结合图象(略)知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,[f(x)]_min=f(-1)=2a+3,

要使f(x)≥a恒成立,只需[f(x)]_min≥a,

即2a+3≥a,解得a≥-3.

又a<-1,∴-3≤a<-1.

②当a∈[-1,+∞)时,[f(x)]_min=f(a)=2-a²,

由2-a²≥a,解得-2≤a≤1.

又a≥-1,

∴-1≤a≤1.

综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤1.

法二　由已知得x²-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,

令g(x)=x²-2ax+2-a,即Δ=4a²-4(2-a)≤0,

或解得-3≤a≤1.