Question

判断三角函数的奇偶性．
（1）f（x）=sin（

3x

4

+

3π

2

）；
（2）f（x）=lg

sinx+cosx

sinx-cosx

；
（3）f（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用诱导公式化简，结合余弦函数的奇偶性即可判断；
（2）由

sinx+cosx

sinx-cosx

＞0解出不等式，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）通过举反例，x=

π

2

在定义域内，x=-

π

2

不在定义域内，定义域不关于原点对称，即可判断．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

3

4

x+

3π

2

）=-cos

3

4

x，
有f（-x）=-cos（-

3

4

x）=-cos

3

4

x=f（x），则f（x）为偶函数；
（2）由

sinx+cosx

sinx-cosx

＞0，即为

tanx+1

tanx-1

＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，或cosx=0．
∴x＞kπ+

π

4

，或x＜kπ-

π

4

，或 x=2kπ±

π

2

，k∈Z，
故函数的定义域为（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

）∪（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

 ）∪{x|x=2kπ±

π

2

}，k∈Z，
故定义域关于原点对称．
f（-x）=lg

sin(-x)+cos(-x)

sin(-x)-cos(-x)

=lg

cosx-sinx

-cosx-sinx

=lg

sinx-cosx

sinx+cosx

=-lg

sinx+cosx

sinx-cosx

=-f（x），则f（x）为奇函数；
（3）f（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

，
则sinx+cosx≠-1，
故当x=

π

2

，f（x）有意义，当x=-

π

2

时，f（x）没有意义，
故定义域不关于原点对称．
则有f（x）是非奇非偶函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，注意首先判断定义域是否关于原点对称，考查三角函数的化简，考察运算能力，属于中档题和易错题．