Question

2．在菱形ABCD中，A=60°，AB=$\sqrt{3}$，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P-BCD的外接球的体积为$\frac{7\sqrt{7}π}{6}$，则二面角P-BD-C的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Answer 1

分析 取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P-BD-C的平面角，由此能求出二面角P-BD-C的正弦值．

解答 解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P-BD-C的平面角，
PE=CE=$\frac{3}{2}$，
三棱锥P-BCD的外接球的半径为R，则$\frac{4}{3}×π×{R}^{3}=\frac{7\sqrt{7}π}{6}$，
解得R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，
则CF=$\frac{2}{3}CE$=1，
则R²=1+h²，即$\frac{7}{4}=1+{h}^{2}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，
则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PO=R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{E{G}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}+PH）^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}}\\{（\frac{1}{2}+EG）^{2}+P{H}^{2}=（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得GE=$\frac{3}{4}$，PH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴PG=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，CG=$\frac{9}{4}$，
∴PC=$\sqrt{\frac{27}{16}+\frac{81}{16}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠PEC=$\frac{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}-\frac{27}{4}}{2×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sin∠PEC=$\sqrt{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角P-BD-C的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-BCD的外接球的半径是关键．