解方程组:$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3-(1)}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3-(2)}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3-(3)}\end{array}\right.$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3…（1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3…（2）}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3…（3）}\end{array}\right.$．

分析令x=1+t₁，y=1+t₂，z=1+t₃，则t₁+t₂+t₃=0，代入（2），求出方程（1）、（2）的解，而x=y=z=1是方程（1）、（2）的唯一一组解，且适合方程（3），即可得出结论．

解答解：令x=1+t₁，y=1+t₂，z=1+t₃，则t₁+t₂+t₃=0．
代入（2）得（1+t₁）²+（1+t₂）²+（1+t₃）²=3，即3+2（t₁+t₂+t₃）+（t₁²+t₂²+t₃²）=3，
所以有t₁=t₂=t₃=0，得x=1，y=1，z=1．
而x=y=z=1是方程（1）、（2）的唯一一组解，且适合方程（3），
所以x=y=z=1是原方程组的唯一一组解

点评本题考查解方程组，考查换元法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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