Question

16．关于函数f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx+1，下列命题：
①函数f（x）的最小正周期是π；
②函数f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称图象；
③若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立；
④将函数f（x）的图象向右平移$\frac{5π}{6}$个单位后将与y=2sin2x+1的图象重合．
其中正确的命题序号①③（注：把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 函数f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，分析函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：函数f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
①函数f（x）的最小正周期是π，即①正确；
②当x=$\frac{π}{12}$时，cos（2x+$\frac{π}{3}$）=0，f（x）=1，故函数f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，1）成中心对称图象，故②错误；
③由函数f（x）的最小正周期是π，可考虑若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立，故③正确；
④将函数f（x）的图象向右平移$\frac{5π}{6}$个单位后，得到y=2cos[2（x-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]+1=2cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+1，
不与y=2sin2x+1的图象重合，故④错误；
故答案为：①③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质等知识点，难度中档．