Question

12．已知定义域为[0，+∞）的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），从而f（x+2n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x，可求（x）在[2n-2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a_n}的前n项和．

解答 解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（x+4）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$f（x），
f（x+6）=$\frac{1}{2}$f（x+4）=$\frac{1}{8}$f（x），
…
f（x+2n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（x）
设x∈[2n-2，2n），则x-（2n-2）∈[0，2）
∵当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x．
∴f[x-（2n-2）]=-2[（x-（2n-2）]²+4[x-（2n-2）]．
∴$\frac{1}{{2}^{1-n}}$f（x）=-2（x-2n+1）²+2
∴f（x）=2^1-n[-2（x-2n+1）²+2]，x∈[2n-2，2n），
∴x=2n-1时，f（x）的最大值为2^2-n
∴a_n=2^2-n
∴{a_n}表示以2为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列
∴{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{2[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
故答案为：4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、等比数列的性质的合理运用．