Question

15．已知f（x）是定义在[5-2a，a]上的奇函数，且当x∈[-5，0）时，f（x）=-x （4-x）．
（1）f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，求出a，通过函数的解析式求解即可．
（2）利用（1）的结果，通过函数的奇偶性，求解函数的最值即可．

解答 解：（1）f（x）是定义在[5-2a，a]上的奇函数，可得2a-5=a，解得a=5．
函数的定义域：[-5，5]，f（0）=0．
当x∈[-5，0）时，f（x）=-x （4-x）．
当x∈（0，5]时，f（x）=-f（-x）=-[x （4+x）]=-x（4+x）．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x∈[-5，0）}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-4x，x∈（0，5]}\end{array}\right.$．
（2）由（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x∈[-5，0）}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-4x，x∈（0，5]}\end{array}\right.$．
可知，f（x）的最大值为：f（-5）=45．最小值为：-45．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的解析式的求法，二次函数的性质的应用，考查计算能力．