Question

11．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）•cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$．
（1）若0≤θ≤π，求使f（x）为偶函数的θ的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y=m与函数y=|f（x）|（$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{6}$）的图象有且仅有两个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式，将f（x）转化为f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），f（x）为偶函数θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，根据θ的取值范围求得θ的值；
（2）根据（1）可知，求得f（x）的解析式，绘制出y=|f（x）|（$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{6}$）的图象，根据题意结合函数图象即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）•cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$，
=sin2（x+$\frac{θ}{2}$）+$\sqrt{3}$（2cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-1），
=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ），
=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
使f（x）为偶函数θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，解得：θ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）可知：f（x）=2cos2x，
函数y=|2cos2x|（$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{6}$）的图象，如图所示：

∵函数与直线y=m有且仅有两个不同的交点，
∴结合图象可得：$\sqrt{3}$＜m＜2，
实数m的取值范围（$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题主要考查三角恒等变换及正弦函数的图象与有关性质，考查数形结合、转化化归的思想方法，考查学生的分析问题解决问题的能力，此题属于中档题．