Question

3．已知函数f（x）=x|x-a|．
（1）若不等式f（1）＜1，a为整数，求a的值；
（2）若对一切x∈（0，1]，f（x）＜1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入不等式，解不等式|1-a|＜1即可；
（2）问题转化为${（x-\frac{1}{x}）}_{max}$＜a＜${（x+\frac{1}{x}）}_{min}$，分别求出函数y=x-$\frac{1}{x}$的最大值和函数y=x+$\frac{1}{x}$的最小值即可．

解答 解：（1）f（1）=|1-a|＜1，
则-1＜1-a＜1，解得：0＜a＜2；
（2）|a-x|＜$\frac{1}{x}$?x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，
故对一切x∈（0，1]都有：
${（x-\frac{1}{x}）}_{max}$＜a＜${（x+\frac{1}{x}）}_{min}$，
而函数y=x-$\frac{1}{x}$，y′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，故函数y=x-$\frac{1}{x}$是增函数，
y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＜0，故函数y=x+$\frac{1}{x}$是减函数，
故${（x-\frac{1}{x}）}_{max}$=0，${（x+\frac{1}{x}）}_{min}$=2
故a∈（0，2），
故a=1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．