Question

10．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）＜4；
（2）若存在实数x₀，使得f（x₀）＜log₂$\sqrt{{t}^{2}-1}$成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）求得函数f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$，根据题意可得 $\frac{3}{2}$=log₂2$\sqrt{2}$＜log₂$\sqrt{{t}^{2}-1}$成立，由此求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∵不等式f（x）＜4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-3x＜4}\end{array}\right.$  ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{2-x＜4}\end{array}\right.$  ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{3x＜4}\end{array}\right.$  ③．
解①求得-$\frac{4}{3}$＜x＜-1，解②求得-1≤x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{4}{3}$．
综上可得，不等式的解集为{x|-$\frac{4}{3}$＜x＜$\frac{4}{3}$ }．
（2）若存在实数x₀，使得f（x₀）＜log₂$\sqrt{{t}^{2}-1}$成立，由（1）知函数f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$=log₂2$\sqrt{2}$＜log₂$\sqrt{{t}^{2}-1}$成立，∴$\sqrt{{t}^{2}-1}$＞2$\sqrt{2}$，求得t²＞9，∴t＞3，或t＜-3．
故实数t的取值范围为{t|t＞3，或t＜-3}．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，解绝对值不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．