题目内容

7．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，AC=BC，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB=$\frac{π}{2}$，M在棱BC上，且MC=2BM=2．
（1）证明BC⊥AC1；
（2）求OM的长度．

分析 （1）推导出CC1⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥面ACC1A1，进而BC⊥AC1；
（2）由（1）可知BC⊥OC，利用勾股定理求OM的长度．

解答 证明：（1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥底面ABC，
所以CC1⊥BC，
又∠ACB=$\frac{π}{2}$，即BC⊥AC，
而CC1，AC?面ACC1A1，且CC1∩AC=C，
所以BC⊥面ACC1A1，
而AC1?面ACC1A1，
所以BC⊥AC1；
解：（2）由（1）可知BC⊥OC，
因为MC=2，OC=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
所以OM=$\sqrt{4+\frac{18}{4}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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17．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（Ⅰ）x0的值；
（Ⅱ）a，b，c 的值．
18．在平面直角坐标系xOy系中，已知直线l：2x+y+4=0，圆C：x2+y2+2x-2by+1=0（b为正实数）
（1）若直线l与圆C交于A，B两点，且AB=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求圆C的方程；
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15．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
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（3）若m+n+mn=N，求mn的最大值和m+n的最小值．
19．函数f（x）=|x|-ax-1仅有一个负零点，则a的取值范围是（　　）
A．（-∞，1）B．（-∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
16．已知函数f（x）=x2-ax+1，x∈R．
（1）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（3）任意x1，x2∈[1，2]，使得|f（x1）-f（x2）|≤4恒成立，求a的取值范围．
20．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
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（2）若直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，且有已知点P（2，$\sqrt{3}$），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．

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