Question

3．已知以点$C（t，\frac{2}{t}）$（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交点为O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．
（1）试写出圆C的标准方程，并证明△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圆的半径，得到圆的方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式得答案；
（2）由|OM|=|ON|，可得OC垂直平分线段MN，求出直线OC的方程，得到OC的斜率，利用斜率的关系求得t值，可得圆C的标准方程．

解答 解：（1）∵圆C过原点O，∴$O{C^2}={t^2}+\frac{4}{t^2}$，即圆C标准方程为${（x-t）^2}+{（y-\frac{2}{t}）^2}={t^2}+\frac{4}{t^2}$．
令x=0，得y₁=0，${y_2}=\frac{4}{t}$；令y=0，得x₁=0，x₂=2t．
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}OA•OB=\frac{1}{2}|{\frac{4}{t}}|•|{2t}|=4$，即△OAB的面积为定值4；
（2）∵|OM|=|ON|，∴OC垂直平分线段MN，直线OC的方程为$y=\frac{1}{2}x$，
即$\frac{2}{t}=\frac{1}{2}t$，得t=2或t=-2．
当t=2时，满足题意；当t=-2时，直线y=-2x+4与圆C不相交，舍去．
∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评 本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．