Question

已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若cosA＝,cosC＝．

（1）求cos B的值；

（2）若|＋|＝，求BC边上中线的长．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）为三角形内角，由的值，可求出，由三角形内角和定理可得：，利用三角函数两角和的余弦函数公式展开即可求出的值；（2）由|＋|＝，可两边平方得，||2＋||2＋2||||＝46，由（1）知的值，先求出，由正弦定理和上式可求出的值，再由余弦定理可求边上中线的长．

试题解析：（1）依题设：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，

故cosB＝cos[π－（A＋C）]＝－cos （A＋C）＝－（cosAcosC＋sinAsinC）＝－（－）＝．

（2） 由（1）知：sinB＝＝＝，再由正弦定理易得：＝＝，

不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0．故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k．

依题设知：||2＋||2＋2||||cosC＝46 46k2＝46，又k＞0k＝1．

故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6．

若设BC的中点为D，由余弦定理得：AD2＝62＋22－2×6×2cos B＝40－2×6×2×＝．

故BC边上的中线长为：．【注】本小题还可通过求|＋|来解答．

考点：两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用．