Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F，H，O，O′分别为BC，CC₁，A₁A，BD，B₁D₁的中点．求证：
（1）EF∥AD₁；
（2）BF∥HD₁．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，推导出EF∥BC₁，AD₁∥BC₁，由此能证明EF∥AD₁．
（2）推导出平面A${\;}_{{1}_{\;}}$D₁H∥平面CBF，且A₁D₁$\underset{∥}{=}$BC，A₁H$\underset{∥}{=}$CF，由此能证明BF∥HD₁．

解答 证明：（1）连结BC₁，
∵E、F分别为BC，CC₁的中点，
∴EF∥BC₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁∥BC₁，
∴EF∥AD₁．
（2）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E、F，H，O，O′分别为BC，CC₁，A₁A，BD，B₁D₁的中点，
∴平面A${\;}_{{1}_{\;}}$D₁H∥平面CBF，且A₁D₁$\underset{∥}{=}$BC，A₁H$\underset{∥}{=}$CF，
∴BF与HD₁共面，∴BF∥HD₁．

点评 本题考查线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．