Question

设双曲线

x2

4

-y²=1的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP （O为坐标原点）分别交于Q和R两点．
（1）证明：无论P点在什么位置，总有|

OP

|²=|

OQ

•

OR

|；
（2）设动点C满足条件：

AC

=

1

2

（

AQ

+

AR

），求点C的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设OP：y=kx与AR：y=

1

2

(x-2)联立，解得

OR

=(

2

1-2k

， 

2k

1-2k

)，同理可得

QR

=(

2

1+2k

，

2k

1+2k

)，所以|

OQ

•

OR

|=

4+4k2

|1-4k2|

，由此知|

OP

|²=m2+n2=

4+4k2

1-4k2

=|

OQ

•

OR

|．
（2）由

AC

=

1

2

（

AQ

+

AR

），知点C为QR的中点，设C（x，y），有

x= 2 1-4k2  y= 2k 1-4k2

，消去k，可得所求轨迹方程．

解答：解：（1）设OP：y=kx与AR：y=

1

2

(x-2)联立，解得

OR

=(

2

1-2k

， 

2k

1-2k

)，（2分）
同理可得

QR

=(

2

1+2k

，

2k

1+2k

)，所以|

OQ

•

OR

|=

4+4k2

|1-4k2|

，（2分）
设

OP

=（m，n），则由双曲线方程与OP方程联立解得m2=

4

1-4k2

，  n2=

4k2

1-4k2

，（2分）
所以|

OP

|²=m2+n2=

4+4k2

1-4k2

=|

OQ

•

OR

|（点在双曲线上，1-4k²＞0）；（2分）
（2）∵

AC

=

1

2

（

AQ

+

AR

），
∴点C为QR的中点，设C（x，y），
则有

x= 2 1-4k2  y= 2k 1-4k2

，消去k，可得所求轨迹方程为x²-2x-4y²=0（x≠0）．（6分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．