Question

9．设函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+sin²（x+$\frac{π}{4}}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$）时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+sin²（x+$\frac{π}{4}}$）．
?f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{2}）$
?f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
?f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵sinx单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
解得：x∈[$kπ-\frac{5π}{12}$，$kπ+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）
∴f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[$kπ-\frac{5π}{12}$，$kπ+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$），
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
由三角函数的图象和性质：
可知：当2x$+\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值，即$f（x）_{min}=sin\frac{7π}{6}+\frac{1}{2}$=0．
当2x$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=sin\frac{π}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．
∴x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$）时，f（x）的取值范围在$[0，\frac{3}{2}]$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．