Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x²＋y²－2mx－4y＋m²－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．

Answer 1

[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]

[解析]　由题意得圆心C(m,2)，半径r＝4.因为点P(3,0)在圆C：x²＋y²－2mx－4y＋m²－28＝0内，所以3²＋0－6m－0＋m²－28<0，解得3－2<m<3＋2.设C到直线的距离为d，则d≤CP.又S_△ABC＝d·|AB|＝d·＝＝16，当且仅当d²＝r²－d²，即d²＝16，d＝4时取等号，因此CP≥4，≥4，即m≥3＋2或m≤3－2.综上，实数m的取值范围为[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]．